Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂=3，若S_n=λa_n-

1

2

，且{a_n}為遞增數(shù)列，則λ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用已知條件求出數(shù)列的首項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列推出關(guān)系式，即可得到λ的范圍．利用等比數(shù)列求出λ的值．

解答： 解：∵S_n=λa_n-

1

2

，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=λa₁-

1

2

，∴a1=

1

2(λ-1)

，
{a_n}為遞增數(shù)列，∴0＜

1

2(λ-1)

＜3，可得λ＞

7

6

．
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=λa₃-

1

2

，解得a₃=

7λ-6

2(λ-1)2

．
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴

a

2 2

=a1•a3．
∴9=

1

2(λ-1)

•

7λ-6

2(λ-1)2

，
化為36（λ-1）³-7（λ-1）-1=0，
令λ-1=t，上式化為：[36t²+18t+2]（t-

1

2

）=0，
∵36t²+18t+2＞0恒成立，
∴t=

1

2

，即λ=

3

2

＞

7

6

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特征，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．