如圖①所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD為∠ACB的平分線(xiàn),點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上,CE=4.如圖②所示,將△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,連結(jié)AB,設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).
圖①圖②
(1)求證:DE⊥平面BCD;
(2)若EF∥平面BDG,其中G為直線(xiàn)AC與平面BDG的交點(diǎn),求三棱錐B-DEG的體積.
(1)見(jiàn)解析(2)
(1)證明:在題圖①中,
∵AC=6,BC=3,∠ABC=90°,∴∠ACB=60°.
∵CD為∠ACB的平分線(xiàn),
∴∠BCD=∠ACD=30°.∴CD=2.
∵CE=4,∠DCE=30°,∴DE=2.
則CD2+DE2=EC2.∴∠CDE=90°.DE⊥DC.
在題圖②中,∵平面BCD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,DE平面ACD,∴DE⊥平面BCD.

(2)解:在題圖②中,∵EF∥平面BDG,EF平面ABC,平面ABC∩平面BDG=BG,∴EF∥BG.
∵點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上,CE=4,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),
∴AE=EG=CG=2.
作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD,
∴BH⊥平面ACD.由條件得BH=.S△DEGS△ACD×AC·CD·sin30°=.
三棱錐B-DEG的體積V=S△DEG·BH=××
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