Question

已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-2

3

cos2x+

3

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）當x∈[

π

2

，π]時，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，即可求f（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅱ）由2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）當x∈[

π

2

，π]時，2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，從而可求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx-2

3

cos2x+

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
由2x-

π

3

=kπ，可得x=

kπ

2

+

π

6

，
∴函數(shù)的對稱中心為（

kπ

2

+

π

6

，0）（k∈Z）；
（Ⅱ）由2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，可得x∈[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）；
（Ⅲ）當x∈[

π

2

，π]時，2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，
∴2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

時，函數(shù)f（x）取得最大值，最大值為

3

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，正確化簡函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)是關鍵．