Question

17．過直線l：x+y=2上任意點P向圓C：x²+y²=1作兩條切線，切點分別為A，B，線段AB的中點為Q，則點Q到直線l的距離的取值范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)P（t，2-t），可得過O、A、P、B的圓的方程與已知圓的方程相減可得AB的方程，進而聯(lián)立直線方程解方程組可得中點Q的坐標，由點Q到直線的距離公式和不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：∵點P為直線l：x+y=2上的任意一點，∴可設(shè)P（t，2-t），
則過O、A、P、B的圓的方程為（x-$\frac{t}{2}$）²+（y-$\frac{2-t}{2}$）²=$\frac{1}{4}$[t²+（2-t）²]，
化簡可得x²-tx+y²-（2-t）y=0，
與已知圓的方程相減可得AB的方程為tx+（2-t）y=1，
由直線OP的方程為（2-t）x-ty=0，
聯(lián)立兩直線方程可解得x=$\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}$，y=$\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}$，
故線段AB的中點Q（$\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}$，$\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}$），
∴點Q到直線l的距離d=$\frac{|\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}+\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|2-$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$|，
∵t²-2t+2=（t-1）²+1≥1，∴0＜$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$≤1，
∴-1≤-$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$＜0，∴1≤2-$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$＜2，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$|2-$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$|＜$\sqrt{2}$，即d∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的相交弦和點到直線的距離公式，以及不等式求函數(shù)的值域，屬中檔題．