Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均存在a使得f（a）≤f（x）≤f（0）成立，且|a|的最小值為

π

2

，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（　　）

• A、[kπ-

  π

  2

  ，kπ]（k∈Z）
• B、[kπ，kπ+

  π

  2

  ]（k∈Z）
• C、[2kπ-

  π

  2

  ，2kπ]（k∈Z）
• D、[2kπ，2kπ+

  π

  2

  ]（k∈Z）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)條件f（a）≤f（x）≤f（0），確定函數(shù)的最大值和最小值，進(jìn)而確定φ的值，由|a|的最小值為

π

2

，得到函數(shù)的最小周期，解得ω=2，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均存在f（a）≤f（x）≤f（0），
∴f（0）為函數(shù)的最大值，f（a）為函數(shù)最小值．
即f（0）=sinφ=1，即φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=sin（ωx+

π

2

+2kπ）=cosωx，
∵f（a）為函數(shù)最小值．
∴f（a）=cos（aω）=-1，
∵|a|的最小值為

π

2

，
∴|a|的最小值為

T

2

，
即

T

2

=

π

2

，∴最小周期T=π，
此時(shí)T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=cos2x，
由2kπ≤2x≤2kπ+π，（k∈Z），
得kπ≤x≤kπ+

π

2

，（k∈Z），
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是由題意求出三角函數(shù)的解析式，考查了與余弦函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．