Question

已知數列{a_n}的通項公式a_n=

37

4

-n，當a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a_na_n+1a_n+2取得最大值時，n的值為（　�。�

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考點：數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：由a_n=

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4

-n≥0，得數列{a_n}的前第9項均為正數，從第10項（含第10項）開始，全為負數，由此能求出當a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a_na_n+1a_n+2取得最大值時，n的值為9．

解答： 解：由a_n=

37

4

-n≥0，
解得n≤9.25，
∴數列{a_n}的前9項均為正數，
從第10項（含第10項）開始，全為負數，
∴當n=8時，a₈a₉a₁₀=

5

4

×

1

4

×(-

3

4

)=-

15

64

＜0，當n=9時，a₉a₁₀a₁₁=

1

4

×(-

3

4

)×(-

7

4

)=

21

64

＞0，
當n≥10時，a_na_n+1a_n+2＜0，
a₈a₉a₁₀+a₉a₁₀a₁₁＞0．
∴當a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a_na_n+1a_n+2取得最大值時，n的值為9．
故選：C．

點評：本題考查數列的前n項的若干項乘積之和取最大值時，項數n的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數列中各項符號的合理運用．