Question

2010年上海成功舉辦了舉世矚目的第41屆世博會．有一家公司設置了這樣一個獎項：對于函數f（n）=log_n+1（n+2），n∈N*，如果正整數k滿足乘積f（1）f（2）f（3）•…•f（k）為整數，則稱k為“世博幸運數”，每天買到當天第k張世博門票的游客可以獲贈該公司的一份“幸運禮品”．那么每天第一個獲得“幸運禮品”的是買到當天第

 

 張世博門票的游客；在某天購得前2010張世博門票的游客中能夠獲得“幸運禮品”的至多有

 

人．

Answer 1

分析：先利用換底公式與疊乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2）；然后根據a₁•a₂•a₃…a_k為整數，可得k=2ⁿ-2；最后由等比數列通項公式解決問題．

解答：解：a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

（n∈N⁺），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2）
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N⁺），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2011]內所有的幸運數為：
M=（2²-2），（2³-2），（2⁴-2），…，（2¹⁰-2）
那么每天第一個獲得“幸運禮品”的是買到當天第2²-2=2張世博門票的游客；
在某天購得前2010張世博門票的游客中能夠獲得“幸運禮品”的至多有9人．
故答案為2；9．

點評：本題在理解新定義的基礎上，考查換底公式、疊乘法及等比數列前n項和公式，其綜合性、技巧性是比較強的．