Question

17．已知等軸雙曲線一條準線的方程為y=$\sqrt{2}$，則該雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 設等軸雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞0），由雙曲線的準線方程y=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，可得$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$，解得a的值，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：設等軸雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞0），c=$\sqrt{2}$a，
由一條準線的方程為y=$\sqrt{2}$，
可得$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$，
解得a=2，
則雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線的準線方程，考查運算能力，屬于基礎題．