Question

12．已知二次函數y=f（x）的圖象經過坐標原點，其導數為f′（x）=2x+1，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜$\frac{m}{16}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析 （1）設二次函數f（x）=ax²+bx．f'（x）=2ax+b，則a=b=1，知f（x）=x²+x，由（n，S_n）在y=x²+x上，知S_n=n²+n．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），知T_n=$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{m}{16}$恒成立．由此能求出所有n∈N*都成立的m的范圍．

解答 解：（1）由題意令二次函數為y=ax²+bx
則f′（x）=2ax+b，
又f′（x）=2x+1，
∴a=1，b=1，
∴f（x）=x²+x．
∵點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，
∴S_n=n²+n．
當n=1時，S_n=a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，
所以a₁=2滿足a_n=2n，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n（n∈N^*）；
（2）由（1）得b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2n•2（n+1）}$=$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故T_n=$\frac{3}{4}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
把代數式$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）看作n的函數φ（n），
因此，使得φ（x）=$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{m}{16}$恒成立的m必須滿足 φ（n）的最大值$\frac{m}{16}$，
φ（x）_max=[$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）]_max＜$\frac{3}{4}$，即$\frac{3}{4}$≤$\frac{m}{16}$，即m≥12．
故：滿足要求的最小整數m為12．

點評 本題考查數列與不等式的綜合，綜合性強，難度較大．易錯點是基礎知識不牢固，不會運用數列知識進行等價轉化轉化．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．