Question

已知曲線C的方程為：ax²+ay²-2a²x-4y=0（a≠0，a為常數(shù)）．
（1）判斷曲線C的形狀；
（2）設(shè)曲線C分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B（A、B不同于原點(diǎn)O），試判斷△AOB的面積S是否為定值？并證明你的判斷；
（3）設(shè)直線l：y=-2x+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且|OM|=|ON|，求曲線C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）把方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得結(jié)論；
（2）求出A，B的坐標(biāo)，即可得出△AOB的面積S為定值；
（3）由圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OM|=|ON|，可得圓心（a，

2

a

）在MN的垂直平分線上，從而求出a，再判斷a=-2不合題意即可．

解答： 解：（1）將曲線C的方程化為(x-a)2+(y-

2

a

)2=a2+

4

a2

--（2分）
可知曲線C是以點(diǎn)（a，

2

a

）為圓心，以

a2+ 4 a2

為半徑的圓．-----------------------------（4分）
（2）△AOB的面積S為定值．-------------------------------------------（5分）
證明如下：
在曲線C的方程中令y=0得ax（x-2a）=0，得點(diǎn)A（2a，0），---------------------------（6分）
在曲線C的方程中令x=0得y（ay-4）=0，得點(diǎn)B（0，

4

a

），--------------------------（7分）
∴S=

1

2

|OA||OB|=

1

2

|2a||

4

a

|=4（為定值）．----------------------------------------（9分）
（3）∵圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OM|=|ON|，
∴圓心（a，

2

a

）在MN的垂直平分線上，∴

2

a2

=

1

2

，∴a=±2，--------------------（11分）
當(dāng)a=-2時(shí)，圓心坐標(biāo)為（-2，-1），圓的半徑為

5

，
圓心到直線l：y=-2x+4的距離d=

|-4-1-4|

5

=

9

5

＞

5

，
直線l與圓C相離，不合題意舍去，--------------------------------------（13分）
∴a=2，這時(shí)曲線C的方程為x²+y²-4x-2y=0．-----------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．