Question

4．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的頂點到直線l₁：y=x的距離分別為$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求C₁的標準方程；
（2）設(shè)平行于l₁的直線l交C₁與A、B兩點，若以AB為直徑的圓恰好過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由a＞b，可設(shè)頂點（a，0）到直線y=x的距離為$\sqrt{2}$，又頂點（0，b）到直線y=x的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，運用點到直線的距離公式，計算可得a=2，b=1，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+t（t≠0），代入橢圓方程x²+4y²=4，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理和判別式大于0，以及直徑所對的圓周角為直角，由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理，可得t，進而得到所求直線l的方程．

解答 解：（1）由a＞b，可設(shè)頂點（a，0）到直線y=x的距離為$\sqrt{2}$，
可得$\frac{a}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，即a=2，
又頂點（0，b）到直線y=x的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$\frac{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即b=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+t（t≠0），
代入橢圓方程x²+4y²=4，可得5x²+8tx+4t²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有△=64t²-20（4t²-4）＞0，解得-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，且t≠0，
x₁+x₂=-$\frac{8t}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$，
y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=x₁x₂+t²+t（x₁+x₂）=$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$+t²-$\frac{8{t}^{2}}{5}$=$\frac{{t}^{2}-4}{5}$，
以AB為直徑的圓恰好過坐標原點，可得OA⊥OB，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
即為$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$+$\frac{{t}^{2}-4}{5}$=0，
解得t=±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，滿足-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，且t≠0，
則直線l的方程為y=x±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用點到直線的距離公式，考查直線方程的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程運用韋達定理，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．