Question

已知等差數列{a_n}為遞增數列，滿足，在等比數列{b_n}中，b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：數列{}是等比數列．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵
∴
∴
∴a₃=5
設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，則
∵b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13，
∴=（a₂+2）（a₄+13）
∴100=（7-d）（18+d）
∴d²+11d-26=0
∴d=2或d=-13（數列遞增，舍去）
∴b₃=a₂+2=5，b₄=a₃+5=10，
∴q=2
∴b_n=b₃q^n-3=5•2^n-3；
（Ⅱ）證明：S_n=
∴
∴
∴數列{}是以為首項，2 為公比的等比數列．
分析：（Ⅰ）根據，利用等差數列的性質，可得a₃=5，利用b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13，可求等差數列{a_n}的公差，等比數列{b_n}的公比，從而可得數列{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅱ）S_n=，從而，利用等比數列的定義可得結論．
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查等比數列的通項，等比數列關系的證明，確定公比是關鍵．