Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 當(dāng)a₂=-1時(shí)，求實(shí)數(shù)λ及a₃；
（Ⅱ）當(dāng)λ=5時(shí)，設(shè)，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（III）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列？若存在，求出其通項(xiàng)公式，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（本小題8分）
解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，∴，…（1分）
故，所以．…（2分）
（Ⅱ）當(dāng)λ=5時(shí)，a_n+1=2a_n+2ⁿ，兩邊同除以2ⁿ⁺¹，得：…（3分）
所以，是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以：
所以{b_n}的通項(xiàng)公式為． …（5分）
（III）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4，a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16
若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程沒有實(shí)根，…（7分）
故不存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．…（8分）
分析：（Ⅰ） 通過a₁=2，a₂=-1時(shí)，利用a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，直接求實(shí)數(shù)λ及a₃；
（Ⅱ）當(dāng)λ=5時(shí)，推出是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，求出a_n，然后求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（III）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，推出a₁+a₃=2a₂，得到λ²-7λ+13=0，方程有解則存在，求出其通項(xiàng)公式，否則不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的項(xiàng)的求法，通項(xiàng)公式的求法，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，常考題型．