Question

若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

2x-y≥2 ax+y≤4 y≥-1

，目標(biāo)函數(shù)z=x+2y，若a=1，則z的最大值為

 

，若z存在最大值，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求z的最大值．若z存在最大值，利用數(shù)形結(jié)合確定滿足條件的不等式關(guān)系即可．

解答： 解：（1）若a=1，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+2y得y=-

1

2

x+

1

2

z，
平移直線y=-

1

2

x+

1

2

z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-

1

2

x+

1

2

z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-

1

2

x+

1

2

z的截距最大，
此時(shí)z最大．
由

2x-y=2 x+y=4

，解得

x=2 y=2

，即A（2，2），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+2y得z=2×2+2=6．
（2）由ax+y≤4，得y≤-ax+4，
則直線y=-ax+4過定點(diǎn)（0，4），
若-a≥0，即a≤0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x+2y無最大值，此時(shí)不滿足條件．
若-a＜0，即a＞0時(shí)，
要使z存在最大值，
則直線y=-ax+4的斜率-a，
滿足-a≤-

1

2

，
即a≥

1

2

，
故此時(shí)a的取值范圍為[

1

2

，+∞）
故答案為：6，[

1

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．