Question

【題目】我們稱n（）元有序?qū)崝?shù)組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數(shù).已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為，這個向量的范數(shù)之和為.

（1）求和的值；

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，求，（用n表示）.

Answer 1

【答案】（1），.（2），

【解析】

（1）利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對都寫出來，再做和；（2）用組合數(shù)表示和，再由公式或將組合數(shù)進(jìn)行化簡，得出最終結(jié)果.

解：（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有：，，，，

它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，故，.

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，在向量的n個坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是奇數(shù)，所以可按照含0個數(shù)為：1，3，…，進(jìn)行討論：的n個坐標(biāo)中含1個0，其余坐標(biāo)為1或，共有個，每個的范數(shù)為；

的n個坐標(biāo)中含3個0，其余坐標(biāo)為1或，共有個，每個的范數(shù)為；

的n個坐標(biāo)中含個0，其余坐標(biāo)為1或，

共有個，每個的范數(shù)為1；所以

，

.

因為，①

，②

得，，

所以.

解法1：因為，

所以.

.

解法2：得，.

又因為，所以

.