Question

某學(xué)校的場(chǎng)室統(tǒng)一使用“佛山照明”的一種燈管，已知這種燈管使用壽命ξ（單位：月）服從正態(tài)分布N（μ，σ²），且使用壽命不少于12個(gè)月的概率為0.8，使用壽命不少于24個(gè)月的概率為0.2．
（1）求這種燈管的平均使用壽命；
（2）假設(shè)一間功能室一次性換上4支這種新燈管，使用12個(gè)月時(shí)進(jìn)行一次檢查，將已經(jīng)損壞的燈管換下（中途不更換），求至少兩支燈管需要更換的概率．

Answer 1

解：（1）∵ξ～N（μ，σ²），P（ξ≥12）=0.8，P（ξ≥24）=0.2，
∴P（ξ＜12）=0.2，
顯然P（ξ＜12）=P（ξ≥24）…（3分）
由正態(tài)分布密度函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，μ==18，
即每支這種燈管的平均使用壽命是18個(gè)月；…（5分）
（2）每支燈管使用12個(gè)月時(shí)已經(jīng)損壞的概率為1-0.8=0.2…（6分）
假設(shè)使用12個(gè)月時(shí)該功能室需要更換的燈管數(shù)量為η支，則η～B（4，0.2），…（8分）
故至少兩支燈管需要更換的概率P=1-P（η=0）-P（η=1）=1--=…（12分）
分析：（1）根據(jù)題意ξ～N（μ，σ²），顯然P（ξ＜12）=P（ξ≥24），結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，μ=，從而得出每支這種燈管的平均使用壽命；
（2）先算出每支燈管使用12個(gè)月時(shí)已經(jīng)損壞的概率，假設(shè)使用12個(gè)月時(shí)該功能室需要更換的燈管數(shù)量為η支，則η～B（4，0.2），利用貝努利概率即可得出至少兩支燈管需要更換的概率P=1-P（η=0）-P（η=1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查曲線的變化特點(diǎn)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．