Question

1．已知O為△ABC的外心，點M（不與點O重合）為邊AC的中點，且$\overrightarrow{AO}$=x•$\overrightarrow{AB}$+y•$\overrightarrow{AM}$，|AB|=3，|AC|=4，若x+y=1，則cos∠BAC=（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 可以根據條件得出B，O，M三點共線，而有OM⊥AC，從而便得到BM⊥AC，這樣即可在Rt△ABM中，由余弦函數的定義得出cos∠BAM的值，從而便得出cos∠BAC的值．

解答 解：如圖，由$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AM}$，x+y=1得：
B，O，M三點共線；
O為△ABC的外心，點M為邊AC的中點；
∴OM⊥AC；
∴BM⊥AC；
∴在Rt△ABM中，|AB|=3，|AM|=2，∠AMB=90°；
∴$cos∠BAM=\frac{|AM|}{|AB|}=\frac{2}{3}$；
∴$cos∠BAC=\frac{2}{3}$．
故選：A．

點評 考查A，B，C三點共線的充要條件為$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，共線向量基本定理，向量的數乘運算，三角形外心的概念，圓心和弦中點的連線與該弦垂直，以及余弦函數的定義．