Question

已知函數f（x）=lnx-

1

2

ax²+x．
（1）若f（1）=0，求函數f（x）的單調減區(qū)間；
（2）若關于x的不等式f（x）≤ax-1恒成立，求整數a的最小值；
（3）若a=-2，正實數x₁，x₂滿足f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，證明：x₁+x₂≥

5 -1

2

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）利用f（1）=0，確定a的值，求導函數，從而可確定函數的單調性；
（2）構造函數F（x）=f（x）-ax+1，利用導數研究其最值，將恒成立問題進行轉化，
（3）將代數式f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂放縮，構造關于x₁+x₂的一元二次不等式，解不等式即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-

1

2

ax²+x，f（1）=0，
∴a=2，且x＞0．
∴f（x）=lnx-x²+x，
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

，
當f′（x）＜0，即x＞1時，函數f（x）的單調遞減，
∴函數f（x）的單調減區(qū)間（1，+∞）．
（2）令F（x）=f（x）-ax+1=lnx-

1

2

ax²+（1-a）x+1，則
F′（x）=

1

x

-ax+1-a=-

ax2+(a-1)x-1

x

=-a

(x+1)(x- 1 a )

x

，
當a≤0時，在（0，+∞）上，函數F（x）單調遞增，且F（1）=2-

3

2

a＞0，不符合題意，
當a＞0時，函數F（x）在x=

1

a

時取最大值，F（

1

a

）=ln

1

a

+

1

2a

，
令h（a）=ln

1

a

+

1

2a

=

1

2a

-lna，則根據基本函數性質可知，在a＞0時，h（a）單調遞減，
又∵h（1）=

1

2

＞0，h（2）=

1

4

-ln2＜0，
∴符合題意的整數a的最小值為2．
（3）∵a=-2，
∴f（x）=lnx+x²+x，
∴f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=lnx₁+x₁²+x₁+lnx₂+x₂²+x₂²
=（x₁+x₂）²+x₁+x₂+lnx₁x₂-x₁x₂
令g（x）=lnx-x，則g′（x）=

1

x

-1，
∴0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
x＞1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
∴g（x）_max=g（1）=-1，
∴f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂≤（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）-1，
即（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）-1≥0，
又∵x₁，x₂是正實數，
∴x₁+x₂≥

5 -1

2

．

點評：本題考查了函數性質的綜合應用，屬于難題．