Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x）（a∈R）．
（1）若f（x）關(guān)于原點對稱，求a的值；
（2）在（1）下，解關(guān)于x的不等式f^-1（x）＞m（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）直接利用函數(shù)奇偶性的定義得出f（-x）+f（x）=0，再利用函數(shù)解析式即可求出a值；
（2）由（1）得f(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)，根據(jù)反函數(shù)的定義求出其反函數(shù)，再對m進(jìn)行分類討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
∴f（-x）+f（x）=0，
有l(wèi)og₂（1-x）+alog₂（1+x）+log₂（1+x）+alog₂（1-x）=0，
化簡得  （a+1）[log₂（1-x）+log₂（1+x）]=0
∵log₂（1-x）+log₂（1+x）不恒為0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）由（1）得f(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)則．
∵f ^-1（x）=1-

2

2x+1

∈（-1，1）
當(dāng)m≥1時，不等式f ^-1（x）＞m  解集為∅
當(dāng)-1＜m＜1時，解不等式 f^-1（x）＞m 有

2x-1

2x+1

＞m⇒1-

2

2x+1

＞m⇒2^x＞

1+m

1-m

⇒x＞log2

1+m

1-m

解集為  {x|x＞log2

1+m

1-m

}
當(dāng)m≤-1時，不等式f^-1（x）＞m對任意的x都成立，即解集為R

點評：本題以對數(shù)型復(fù)合函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域、反函數(shù)和不等式的解法等等知識點，屬于中檔題．本題的綜合性較強(qiáng)，在解題時注意分類討論與轉(zhuǎn)化化歸思路的適時恰當(dāng)?shù)倪\用．