Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+2^x-1（x＜0）與g（x）=x³-log₂（x+a）+1的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 設(shè)出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩個函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為方程有解，利用函數(shù)圖象關(guān)系列出不等式求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+2^x-1（x＜0）與g（x）=x³-log₂（x+a）+1的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，
設(shè)函數(shù)f（x）=x³+2^x-1（x＜0）上的一點(diǎn)為（m，n），m＜0，可得n=m³+2^m-1，
則（-m，-n）在g（x）=x³-log₂（x+a）+1的圖象上，-n=-m³-log₂（-m+a）+1，
可得2^m=log₂（-m+a），即$（\frac{1}{2}）^{-m}=lo{g}_{2}（a-m）$（m＜0）有解，即$（\frac{1}{2}）^{t}=lo{g}_{2}（t+a）$，t＞0有解．作出y=$（\frac{1}{2}）^{t}$，與y=log₂（t+a），t＞0的圖象，如圖：
只需log₂a＜1即可．解得a∈（0，2）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想、對稱知識、以及構(gòu)造法的應(yīng)用，難度比較大．