已知z
1，z
2是復(fù)數(shù)，求證：若|z
1-
|=|1-z
1z
2|，則|z
1|，|z
2|中至少有一個值為1．
【答案】
分析：利用|z|
2=
，結(jié)合|z
1-
|=|1-z
1z
2|的平方，化簡出|z
1|
2+|z
2|
2=1+|z
1|
2•|z
2|
2．
通過分解因式，推出|z
1|，|z
2|中至少有一個值為1．
解答：證：∵|z
1-
|=|1-z
1z
2|
∴|z
1-
|
2=|1-z
1z
2|
2．
∴（z
1-
）
=（1-z
1z
2）
．
∴（z
1-
）（
-z
2）=（1-z
1z
2）（1-
）．
化簡后得z
1
+z
2
=1+z
1z
2
．
∴|z
1|
2+|z
2|
2=1+|z
1|
2•|z
2|
2．
∴（|z
1|
2-1）（|z
2|
2-1）=0．∴|z
1|
2=1，或|z
2|
2=1．
∴|z
1|，|z
2|中至少有一個為1．
點評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知z
1，z
2是復(fù)數(shù)，求證：若|z
1-
|=|1-z
1z
2|，則|z
1|，|z
2|中至少有一個值為1．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知z
1，z
2是復(fù)數(shù)，
|z1|=1，|z2|=，|z1-z2|=2，則|z
1+z
2|=（ �。�
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知z
1，z
2是復(fù)數(shù)，定義復(fù)數(shù)的一種運算“?”為：
z1?z2= | | z1z2(|z1|＞|z2|) | | z1+z2(|z1|≤|z2|) |
| |
若z
1=2+i且z
1?z
2=3+4i，則復(fù)數(shù)z
2=（ �。�
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（1）已知Z是復(fù)數(shù)，求證：①
|Z|2=Z•；②
=-Z；
（2）已知z
1，z
2是復(fù)數(shù)，若|z
1-
|=|1-z
1z
2|，求證：|z
1|，|z
2|中至少有一個值為1．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2011-2012學(xué)年河南省三門峽市盧氏一中分校高二（下）質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）
題型：選擇題
已知z
1，z
2是復(fù)數(shù)，定義復(fù)數(shù)的一種運算“?”為：
若z
1=2+i且z
1?z
2=3+4i，則復(fù)數(shù)z
2=（ ）
A．2+i
B．1+3i
C．2+i或1+3i
D．條件不夠，無法求出
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