Question

20．已知函數f（x）=-x²+kx．
（1）若k=2，求函數f（x）在[0，3]上的最小值；
（2）若函數f（x）在[0，3]上是單調函數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當k=2時，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，從而求最值；
（2）由題意知函數f（x）=-x²+kx的對稱軸x=$\frac{k}{2}$不在區(qū)間（0，3）內，從而解得．

解答 解：（1）當k=2時，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∵x∈[0，3]，
∴由二次函數圖象性質可知，當x=3時，f（x）取得最小值-3．
（2）∵函數f（x）=-x²+kx在區(qū)間[0，3]上是單調函數
∴函數f（x）=-x²+kx的對稱軸x=$\frac{k}{2}$不在區(qū)間（0，3）內，
即  $\frac{k}{2}$≤0 或$\frac{k}{2}$≥3，
∴k≤0 或k≥6；
故k的取值范圍為（-∞，0]∪[6，+∞）．

點評 本題考查了二次函數的性質的判斷與應用，同時考查了數形結合的思想應用．