設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個相等的實根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表達式;
(2)若直線x=-t(0<t<1把y=f(x))的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分,求t的值.
分析:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,根據(jù)f′(x)=2x+2求出a、b的值,再由方程f(x)=0有兩個相等的實根,△=0,求得c的值,即可得到函數(shù)的解析式.
(2)由題意可得
f
-t
-1
 ( x2+2x+1)dx=
f
0
-t
( x2+2x+1)dx,即(
1
3
x3+x2+x)
|
-t
-1
=(
1
3
x3+x2+x)
|
0
-t
,
化簡得2(t-1)3=-1,由此求得t的值.
解答:解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則f′(x)=2ax+b,又因為 f′(x)=2x+2,
∴a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x+c.
由于方程f(x)=0有兩個相等的實根,∴△=4-4c=0,解得 c=1,∴f(x)=x2+2x+1.
(2)由題意可得
f
-t
-1
 ( x2+2x+1)dx=
f
0
-t
( x2+2x+1)dx,
即 (
1
3
x3+x2+x)
|
-t
-1
=(
1
3
x3+x2+x)
|
0
-t
,
即-
1
3
t3+t2-t+
1
3
=
1
3
t3-t2+t,
∴2t3-6t2+6t-1=0,
即2(t-1)3=-1,∴t=1-
1
32
點評:本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,導(dǎo)數(shù)的運算,定積分的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個相等的實根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表達式;
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x2+2x+1
x2+2x+1

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(1)求y=f(x)的表達式;
(2)求y=f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積;
(3)若直線x=-t(0<t<1)把y=f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分,求t的值.

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