Question

某工廠要將一批產(chǎn)品用汽車從所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運(yùn)費(fèi)由工廠承擔(dān)．若工廠恰能在約定日期（×月×日）將產(chǎn)品送到，則銷售商一次性支付給工廠2000元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給工廠100元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給工廠100元．現(xiàn)規(guī)定汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送產(chǎn)品，現(xiàn)把汽車在一段時(shí)間內(nèi)走公路1和公路2的運(yùn)費(fèi)編成如下莖葉圖：
（Ⅰ）寫(xiě)出汽車走公路1和公路2運(yùn)費(fèi)的中位數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)下列信息，

統(tǒng)計(jì)信息 汽車行駛路線	不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間（天）	堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間 （天）	堵車的概率
公路1	2	3	1 10
公路2	1	4	1 2

（注：毛利潤(rùn)=銷售商支付給工廠的費(fèi)用-運(yùn)費(fèi)）
求：①以運(yùn)費(fèi)的中位數(shù)為運(yùn)費(fèi)，記汽車走公路1時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)為ξ（單位：元），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
②假設(shè)你是工廠的決策者，你選擇哪條公路運(yùn)送產(chǎn)品有可能讓工廠獲得的毛利潤(rùn)更多？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)莖葉圖，寫(xiě)出汽車走公路1、公路2的所有運(yùn)費(fèi)，再寫(xiě)出其中位數(shù)；
（II）①汽車走公路1時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)為ξ，ξ的可能取值是18.4，17.4，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，算出概率，寫(xiě)出分布列，做出期望．
②汽車走公路1時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)為ξ，ξ的可能取值是20.2，17.2，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，算出概率，寫(xiě)出分布列，做出期望，把兩條公路的所獲得毛利潤(rùn)的期望進(jìn)行比較，得到公路2的毛利潤(rùn)期望大，得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）走公路1的運(yùn)費(fèi)為的156，158，160，162，164，故中位數(shù)為160；同理走公路2運(yùn)費(fèi)的中位數(shù)為80
（II）①汽車走公路1時(shí)，不堵車時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)ξ=20-1.6=18.4百元；
堵車時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)ξ=20-1.6-1=17.4百元；
∴汽車走公路1時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)ξ的分布列為

∴Eξ=18.4×

9

10

+17.4×

1

10

=18.3百元
②設(shè)汽車走公路2時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)為η，
不堵車時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)η=20-0.8+1=20.2百元；
堵車時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)η=20-0.8-2=17.2百元；
∴汽車走公路1時(shí)工廠獲得的毛利潤(rùn)η的分布列為
∴
∴Eη=20.2×

1

2

+17.2×

1

2

=18.7百元
∵Eξ＜Eη∴選擇公路2運(yùn)送水果有可能讓工廠獲得的毛利潤(rùn)更多

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查比較兩個(gè)變量的期望值，得到最優(yōu)思路，是一個(gè)利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的題目，是一個(gè)綜合題目