Question

9．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其一條漸近線為x+$\sqrt{2}$y=0，點(diǎn)M在雙曲線上，且MF₁⊥x軸，若F₂同時(shí)為拋物線y²=12x的焦點(diǎn)，則F₁到直線F₂M的距離為（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$
• B． $\frac{{5\sqrt{6}}}{6}$
• C． $\frac{5}{6}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線的方程，可得a=$\sqrt{2}$b，由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c=3，即a²+b²=9，解得a，b，可得雙曲線的方程，求得M的坐標(biāo)和直線MF₂的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
又拋物線y²=12x的焦點(diǎn)為（3，0），
即有c=3，即a²+b²=9，
解得b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{6}$，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
令x=-3，可得y=±3$\sqrt{\frac{9}{6}-1}$=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可設(shè)M（-3，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
直線MF₂的方程為y=-$\frac{\sqrt{6}}{12}$x+$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
可得F₁到直線F₂M的距離為$\frac{|-\frac{\sqrt{6}}{12}×（-3）+\frac{\sqrt{6}}{4}|}{\sqrt{1+\frac{6}{144}}}$=$\frac{6}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的漸近線方程，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．