Question

11．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
（1）求b的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）若a∈[-1，1]，t∈[-1，1]時(shí)，不等式f（at²-2t）+f（-2t²-k+a）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-1）=-f（1），得到關(guān)于b的方程，求出b的值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到at²-2t＞2t²+k-a，（t²+1）a-2t²-2t＞k，a∈[-1，1]時(shí)恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出k的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則f（-1）=-f（1），即$\frac{b-\frac{1}{2}}{3}$=-$\frac{b-2}{6}$，
解得：b=1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
（2）f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$，
任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂時(shí)：
f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{1}{2}$）-（$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{{{2}^{{x}_{2}}-2}^{{x}_{1}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
x₁＜x₂時(shí)，0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），f（x）為R上減函數(shù)；
（3）f（at²-2t）+f（-2t²-k+a）＜0，
f（at²-2t）＜-f（-2t²-k+a）=f（2t²+k-a），
∵f（x）為R上減函數(shù)，∴at²-2t＞2t²+k-a，
（t²+1）a-2t²-2t＞k，a∈[-1，1]時(shí)恒成立，
-（t²+1）-2t²-2t=-3t²-2t-1＞k，
t∈[-1，1]時(shí)，-3t²-2t-1=-3${（t+\frac{1}{3}）}^{2}$-$\frac{2}{3}$，t=1時(shí)有最小值-6，
∴k＜-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．