Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax，g（x）=-x²-1，若函數(shù)f（x）與g（x）有兩條公切線，且由四個(gè)切點(diǎn)組成的多邊形的周長為6．則a 的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：分別求出設(shè)出切點(diǎn)，點(diǎn)P（x₁，x₁²-2ax₁）和點(diǎn)Q（x₂，-x₂²-1），求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，得到切線方程，推出x₁+x₂=a，2x₁x₂=a²-1，則有2x₁²-2ax₁+a²-1=0，再求y₁+y₂=-1-a²．由對(duì)稱性，可得另一條公切線段P′Q′的中點(diǎn)與PQ中點(diǎn)重合，所以公切線段PQ和P′Q′互相平分．即有切點(diǎn)P'（x₂，f（x₂）），Q'（x₁，
g（x₁）），PQ和P′Q′圍成一個(gè)平行四邊形PP'QQ'，則有|PP'|+|PQ'|=3，得到a的方程，解得即可．

解答： 解：函數(shù)y=x²-2ax的導(dǎo)數(shù)y′=2x-2a，
曲線f（x）在點(diǎn)P（x₁，x₁²-2ax₁）的切線方程是：
y-（x₁²-2ax₁）=（2x₁-2a）（x-x₁），
即y=（2x₁-2a）x-x₁²①
函數(shù)y=-x²-1的導(dǎo)數(shù)y′=-2x，
曲線g（x）在點(diǎn)Q（x₂，-x₂²-1）的切線方程是
即y-（-x₂²-1）=-2x₂（x-x₂）．
y=-2x₂x+x₂²-1．②
如果直線l是過P和Q的公切線，
則①式和②式都是l的方程，
2x₁-2a=-2x₂，-x₁²=x₂²-1，
即有x₁+x₂=a，2x₁x₂=a²-1，
則有2x₁²-2ax₁+a²-1=0，
設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
y₁+y₂=x₁²-2ax₁+（-x₂²-1）=2x₁²-2ax₁-2=-1-a²．
線段PQ的中點(diǎn)為（

a

2

，

-1-a2

2

）．
另一條公切線段P′Q′的中點(diǎn)也是（

a

2

，

-1-a2

2

）．
所以公切線段PQ和P′Q′互相平分．
即有切點(diǎn)P'（x₂，f（x₂）），Q'（x₁，g（x₁）），
PQ和P′Q′圍成一個(gè)平行四邊形PP'QQ'
則有|PQ'|=|x₁²-2ax₁-（-x₂²-1）|=|2-a²|，
|PP'|=

(x1-x2)2+(x12-2ax1-x22+2ax2)2

=

1+a2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+a2

•

2-a2

由|PQ'|+|PP'|=3，即

1+a2

•

2-a2

+|2-a²|=3，
解得，a²=

1

2

，即有a=±

2

2

．
故答案為：±

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算化簡的能力，屬于難題．