【題目】某地干旱少雨,農(nóng)作物受災(zāi)嚴(yán)重,為了使今后保證農(nóng)田灌溉,當(dāng)?shù)卣疀Q定建一橫斷面為等腰梯形的水渠(水渠的橫斷面如圖所示),為減少水的流失量,必須減少水與渠壁的接觸面,若水渠橫斷面的面積設(shè)計(jì)為定值S,渠深為h,則水渠壁的傾斜角α(0<α<)為多大時(shí),水渠中水的流失量最小?
【答案】時(shí),水渠中水的流失量最小。
【解析】
試題分析:本題考查三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,根據(jù)題中條件分析,若要減少水的流失量,應(yīng)使水與渠壁的接觸面最小,即求AD+DC+CB的最小值,過B作BE⊥DC,交DC于點(diǎn)E,在中,,,由圖可知:,又因?yàn)?/span>,所以,因此可以求得,于是得到,整理可以得到:,由于是自變量,S,h是已知量,所以要使函數(shù)值y最小,只需使的值最小即可。設(shè),u可看作(0,2)與(﹣sinα,cosα)兩點(diǎn)連線的斜率,由于α∈(0,),
點(diǎn)(﹣sinα,cosα)在曲線x2+y2=1(﹣1<x<0,0<y<1)上運(yùn)動(dòng),當(dāng)過(0,2)的直線與曲線相切時(shí),直線斜率最小,此時(shí)切點(diǎn)為(﹣,),則有sinα=,且cosα=,故當(dāng)α=時(shí),水渠中水的流失量最。
試題解析:作BE⊥DC于E,
在Rt△BEC中,BC=,CE=hcotα,
又AB﹣CD=2CE=2hcotα,AB+CD=,
故CD=﹣hcotα.
設(shè)y=AD+DC+BC,
則y=﹣hcotα+=+(0<α<),
由于S與h是常量,欲使y最小,只需u=取最小值,
u可看作(0,2)與(﹣sinα,cosα)兩點(diǎn)連線的斜率,
由于α∈(0,),
點(diǎn)(﹣sinα,cosα)在曲線x2+y2=1
(﹣1<x<0,0<y<1)上運(yùn)動(dòng),
當(dāng)過(0,2)的直線與曲線相切時(shí),直線斜率最小,
此時(shí)切點(diǎn)為(﹣,),
則有sinα=,且cosα=,
那么α=,
故當(dāng)α=時(shí),水渠中水的流失量最。
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【題目】下列說法不正確的是( )
A. 圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形
B. 圓錐過軸的截面是一個(gè)等腰三角形
C. 平行于圓臺(tái)底面的平面截圓臺(tái),截面是圓面
D. 直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐
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【題目】函數(shù)(滿足:
(1),
(2)在區(qū)間內(nèi)有最大值無最小值,
(3)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值,
(4)經(jīng)過。
(1)求的解析式;
(2)若,求值;
(3)不等式的解集不為空集,求實(shí)數(shù)的范圍.
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【題目】觀察以下5個(gè)等式:
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
……
根據(jù)以上式子規(guī)律:
(1)寫出第6個(gè)等式,并猜想第n個(gè)等式;(n∈N*)
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立.(n∈N*)
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【題目】近幾年騎車鍛煉越來越受到人們的喜愛,男女老少踴躍參加,我校課外活動(dòng)小組利用春節(jié)放假時(shí)間進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,對(duì)年齡段的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次“你是否喜歡騎車鍛煉”的問卷,將被調(diào)查人員分為“喜歡騎車”和“不喜歡騎車”,得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖,并的值;
(2)從歲年齡段的“喜歡騎車”中采用分層抽樣法抽取6人參加騎車鍛煉體驗(yàn)活動(dòng),求其中選取2名領(lǐng)隊(duì)來自同一組的概率。
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【題目】設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖象與軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為,且圖像的一條對(duì)稱軸是直線。
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像。
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【題目】設(shè)是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,,.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.
①試求最小的正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),都有成立;
②是否存在正整數(shù) ,使得成立?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】某商場為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下:消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券,假定指針等可能地停在任一位置. 若指針停在A區(qū)域返券60元;停在B區(qū)域返券30元;停在C區(qū)域不返券. 例如:消費(fèi)218元,可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(1)若某位顧客消費(fèi)128元,求返券金額不低于30元的概率;
(2)若某位顧客恰好消費(fèi)280元,并按規(guī)則參與了活動(dòng),他獲得返券的金額記為(元).求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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