Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是C上一點(diǎn)，PF₂⊥x軸，∠PF₁F₂的正切值為

3

4

．
（Ⅰ）求C的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₂的直線l與C交于M、N兩點(diǎn)，若△F₁MN面積的最大值為3，求C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

b2 a

2c

=

3

4

，即6ac=4a²-4c²，由此能求出橢圓的離心率．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，設(shè)直線MN的方程為x=my+c，代入橢圓方程，得（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0，由此利用韋達(dá)定理和三角形的面積能求出橢圓C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，
P是C上一點(diǎn)，PF₂⊥x軸，∠PF₁F₂的正切值為

3

4

，
∴

b2 a

2c

=

3

4

，整理，得6ac=4a²-4c²，
∴4e²+6e-4=0，解得e=

1

2

，或e=2（舍），
∴e=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
依題意，設(shè)直線MN的方程為x=my+c，
代入橢圓方程，得（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=

-6mc

4+3m2

，y₁y₂=

-6c2

4+3m2

，
∴△F₁MN的面積S=

1

2

•|F1F2|•|y₁-y₂|=c|y₁-y₂|
=c

(y1+y2)2-2y1y2

=12c²

m2+1 (4+3m2)2

，
令t=m²+1，則t≥1，
∴h（t）=

m2+1

(4+3m2)2

=

t

9t2+6t+1

=

1

9t+ 1 t +6

，
∵h(yuǎn)（t）在[1，+∞）上遞減，∴h_max（t）=h（1）=

1

16

，
∴S的最大值為12c²×

1

4

=3，c²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，要熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)．