Question

設(shè)向量，滿足，已知兩定點A（1，0），B（-1，0），動點P（x，y），
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）已知直線m：y=x+t交軌跡C于兩點M，N，（A，B在直線MN兩側(cè)），求四邊形MANB的面積的最大值．
（3）過原點O作直線l與直線x=2交于D點，過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G，H（不妨設(shè)點G在直線OD上方），求證：線段OG的長為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由||+||=2，知，由此能求出動點P（x，y）的軌跡C的方程．
（2）點A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個焦點，由y=x+t得x=t-y，代入可得：3y²-2ty+t²-2=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由于，故只需求|y₁-y₂|的最大值
（3）設(shè)動點D（2，y），則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y）=0，直線GA：2x+yy-2=0，由此得G的軌跡方程是x²+y²=2，從而得到OG=（定值）．
解答：（1）解：∵向量，滿足，
∴，
∴動點P（x，y）的軌跡C的方程是以（±1，0）為焦點，以長軸長為，短軸長為2的橢圓，
∴動點P（x，y）的軌跡C的方程為．
（2）解：點A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個焦點，連接BM，BN，AM，AN
由y=x+t得x=t-y，代入可得：3y²-2ty+t²-2=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴，
∴=
∵A，B在直線MN兩側(cè)
∴-1＜t＜1（經(jīng)過點B時，t=1，經(jīng)過點A時，t=-1）
∴當(dāng)t=0時，|y₁-y₂|取得最大值
∵
∴四邊形MANB的面積的最大值為
（3）證明：設(shè)動點D（2，y），
則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y）=0，①
直線GA：2x+yy-2=0，②
由①②聯(lián)立消去y得G的軌跡方程是x²+y²=2，
∴OG=（定值）
點評：本題以向量為載體，考查圓與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運用圓錐曲線的性質(zhì)進行等價轉(zhuǎn)化．