平面α⊥平面β,且α∩β=l,在α內(nèi)有一個等腰Rt△ABC，∠C=90°,BC在l上，且BC=a，在β內(nèi)有一條直線CD與α成45°角，P是CD上異于C的一點.

(1)求PB與AC所成的角；

(2)若二面角PABC等于60°，求P點到直線AB的距離.

解:(1)作PH⊥l于H,∵α⊥β，

∴PH⊥平面α.

∴PB在平面α上的射影為BH.

∵BC⊥AC,依三垂線定理知PB⊥AC，

∴PB與AC所成的角為90°.

(2)由(1)知∠PCH為CD與α所成的角，

∴∠PCH=45°,△PCH為等腰直角三角形.

作HM⊥AB于M點，連結(jié)PM，

由三垂線定理知PM⊥AB,故PM是P點到直線AB的距離，

∠PMH為二面角P-AB-C的平面角.

∴∠PMH=60°.

設PM=x,則在Rt△PHM中，

HM=x,PH=x,CH=x.

∵MH⊥AB,∴△HMB為等腰直角三角形，

HB=HM=x.

∵BH+HC=BC=a，

即x+x=a，

∴x=2(-)a.

∴點P到AB的距離為2(-)a.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

3、給出下列命題
①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線平行，則l∥α；
②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，則過α內(nèi)一點P與l垂直的直線垂直于平面β；
③?x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；
④已知a∈R，則“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分條件．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β；
③若直線a，b是異面直線，直線b，c是異面直線，則直線a，c也是異面直線；
④已知平面α⊥平面β，且α∩β=b，若a⊥b，則a⊥平面β；
⑤已知直線a⊥平面α，直線b在平面β內(nèi)，a∥b，則α⊥β．
其中正確命題的序號是
②⑤
②⑤
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面α⊥平面β，且α∩β=l，直線a?α，直線b?β，且a不與l垂直，b不與l垂直，那么a與b（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•焦作一模）如圖：已知△PAB所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=
2
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AB，∠ABC=60°，E為AB的中點．   
（Ⅰ）證明：CE⊥PA；
（Ⅱ）若F為線段PD上的點，且EF與平面PEC的夾角為45°，求平面EFC與平面PBC夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•宜春一模）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，點E是線段PD上的動點．
（1）當點E是PD的中點時，求二面角E-AC-D的大��；
（2）在（1）的條件下，求點D到平面EAC的距離；
（3）若點F是BC的中點且PF∥平面EAC時，求點E的位置．

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