Question

19．已知橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）將直線l與橢圓C的參數(shù)方程均化為普通方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）分別消去參數(shù)t和θ可得直線和橢圓的普通方程；
（2）聯(lián)立方程，解方程組可解得A和B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得．

解答 解：（1）∵橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴cosθ=$\frac{x}{2}$，sinθ=y，由sin²θ+cos²θ=1可得
（$\frac{x}{2}$）²+y²=1，整理可得橢圓的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
同理由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t可得x-y=0；
（2）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$消去y可得5x²=4，
解得x=y=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，或x=y=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，即A（$\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{5}}$），B（-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，-$\frac{2}{\sqrt{5}}$），
∴線段AB的長=$\sqrt{（-\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}+（-\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$

點(diǎn)評 本題考查橢圓和直線的參數(shù)方程，涉及直線和圓的弦長，屬中檔題．