Question

已知函數(shù)y=sinωxcosφ+cosωxsinφ，其最小正周期為π，直線x=

π

3

是其圖象的一條對(duì)稱軸，則下面結(jié)論正確的是（　　）

• A、關(guān)于（

  5π

  12

  ，0）對(duì)稱，在區(qū)間[-

  π

  6

  ，0]上單調(diào)遞增
• B、關(guān)于（

  7π

  12

  ，0）對(duì)稱，在區(qū)間[-

  π

  6

  ，0]上單調(diào)遞增
• C、關(guān)于（

  π

  3

  ，0）對(duì)稱，在區(qū)間[0，

  π

  3

  ]上單調(diào)遞增
• D、關(guān)于（

  π

  3

  ，0）對(duì)稱，在區(qū)間[-

  π

  6

  ，0]上單調(diào)遞增

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由兩角和的正弦化簡(jiǎn)，然后由周期為π求得ω的值，再根據(jù)直線x=

π

3

是其圖象的一條對(duì)稱軸求得φ的值，然后代值驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)中只有B給出的（

7π

12

，0）為對(duì)稱中心，再驗(yàn)證單調(diào)性確定答案．

解答：解：y=sinωxcosφ+cosωxsinφ
=sin（ωx+φ）．
∵函數(shù)的最小正周期為π，
∴ω=2，
則y=sin（2x+φ）．
又x=

π

3

是其圖象的一條對(duì)稱軸，
∴

2π

3

+φ=

π

2

+kπ，
φ=kπ-

π

6

，k∈Z．
∴y=sin(2x+kπ-

π

6

)=±sin(2x-

π

6

)．
∵當(dāng)x=

5π

12

時(shí)，y≠0；
當(dāng)x=

7π

12

時(shí)，y=0；
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，y≠0．
且x∈[-

π

6

，0]時(shí)，2x-

π

6

∈[-

π

2

，-

π

6

]，函數(shù)單調(diào)遞增．
∴函數(shù)y=sinωxcosφ+cosωxsinφ關(guān)于（

7π

12

，0）對(duì)稱，在區(qū)間[-

π

6

，0]上單調(diào)遞增．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)周期的求法，考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，是中檔題．