Question

已知四棱錐P﹣ABCD的三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．

（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；
（2）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論；
（3）若點E為PC的中點，求二面角D﹣AE﹣B的大�。�

Answer 1

解：（1）由三視圖可知，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，
即四棱錐P﹣ABCD的體積為． 側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴，
（2）不論點E在何位置，都有BD⊥AE． 證明如下：
連接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD平面ABCD，
∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不論點E在何位置，都有AE平面PAC．
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）：在平面DAE內過點D作DF⊥AE于F，連接BF．
∵AD=AB=1，，，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，從而△ADF≌△ABF，
∴BF⊥AE．
∴∠DFB為二面角D﹣AE﹣B的平面角．
在Rt△ADE中，，
又，在△DFB中，
由余弦定理得，
∴∠DGB=120°，
即二面角D﹣AE﹣B的大小為120°．