Question

【題目】一條寬為的兩平行河岸有村莊和供電站，村莊與的直線距離都是， 與河岸垂直，垂足為現(xiàn)要修建電纜，從供電站向村莊供電．修建地下電纜、水下電纜的費(fèi)用分別是萬(wàn)元、萬(wàn)元.

(1) 如圖①,已知村莊與原來(lái)鋪設(shè)有電纜，現(xiàn)先從處修建最短水下電纜到達(dá)對(duì)岸后后，再修建地下電纜接入原電纜供電，試求該方案總施工費(fèi)用的最小值；

(2) 如圖②，點(diǎn)在線段上，且鋪設(shè)電纜的線路為.若，試用表示出總施工費(fèi)用（萬(wàn)元）的解析式，并求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知可得為等邊三角形， 水下電纜的最短線路為，過(guò)作于，可知地下電纜的最短線路為，由此能求出該方案的總費(fèi)用；（2）因?yàn)?/span>所以.可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而能求出施工總費(fèi)用的最小值.

試題解析：（1）由已知可得為等邊三角形.

因?yàn)?/span>，所以水下電纜的最短線路為.

過(guò)作于，可知地下電纜的最短線路為.

又，

故該方案的總費(fèi)用為 （萬(wàn)元）

（2）因?yàn)?/span>

所以.則

，

令則

，

因?yàn)?/span>，所以，

記

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)，即時(shí)， ，

所以，從而，

此時(shí)，

因此施工總費(fèi)用的最小值為（）萬(wàn)元，其中.