Question

6．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點(diǎn)S（-1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）
（1）求該橢圓方程
（2）若傾斜角是45°的直線l和橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，M是直線l與x軸的交點(diǎn)，且有3$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MQ}$，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)：橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．根據(jù)橢圓的離心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點(diǎn)S（-1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$），可得a，b，c．即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=x+b，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：3x²+4bx+2b²-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及3$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MQ}$，即可解出b，從而可得直線l方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．  
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²①
而c²+b²=a²②，
過點(diǎn)S（-1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$），∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}$=1③
由①②③可得：b²=c²=1，a²=2，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，0），直線l的斜率為1，所以方程設(shè)為：y=x+b，
∵點(diǎn)M在該直線上，代入得b=-x₀
又因?yàn)?$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MQ}$，即M分PQ所成的比為$\frac{1}{3}$，由定比分點(diǎn)公式得
x₀=$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{3}{x}_{2}}{1+\frac{1}{3}}$，化簡得3x₁+x₂=4x₀，即3x₁+x₂=-4b…①
由$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1與y=x+b消去y得 3x²+4bx+2b²-2=0，∴x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$…②
①②聯(lián)立消去x₂得 x₁=-$\frac{4b}{3}$，
因?yàn)辄c(diǎn)P（x₁，y₁）在直線y=x+b上，∴y₁=-$\frac{1}{3}$b，
又點(diǎn)P（x₁，y₁）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上，代入得$\frac{16^{2}}{18}+\frac{1}{9^{2}}$=1，解得b=±1，
故所求直線方程為y=x+1或y=x-1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．