Question

平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，點Q為直線OP上一動點．
(1)當(dāng)·取得最小值時，求坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點Q滿足(1)中條件時，求cos∠AQB的值．

Answer 1

(1)當(dāng)y＝2時，·有最小值－8，此時＝(4,2)．(2)－.

試題分析：(1)設(shè)＝(x，y)，∴點Q在直線上，
∴向量與共線，又＝(2,1)，
∴x－2y＝0，即x＝2y，∴＝(2y，y)，
又＝－＝(1－2y,7－y)，＝(5－2y,1－y)
∴·＝(1－2y)·(5－2y)＋(7－y)·(1－y)＝5y²－20y＋12＝5(y－2)²－8，
故當(dāng)y＝2時，·有最小值－8，此時＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(－3,5)，＝(1，－1)，·＝－8，||＝，＝.
∴cos∠AQB＝＝－.
點評：中檔題，本題綜合考查平面向量的線性運算，平面向量的數(shù)量積，平面向量的坐標(biāo)計算，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對學(xué)生的計算能力有較高要求。向量的夾角公式。平面向量模的計算，往往“化模為方”，轉(zhuǎn)化成向量的運算。