Question

已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0），點(diǎn)、滿足，，過點(diǎn)且垂直于的直線交線段于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡的方程；

（2）若軌跡上存在兩點(diǎn)和關(guān)于直線：（）對(duì)稱，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、，對(duì)點(diǎn)（1，0）和向量（，3），求取最大值時(shí)直線的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴為中點(diǎn).

       ∴垂直平分.

       ∴.

       ∴.

       ∴點(diǎn)的軌跡是以正、為焦點(diǎn)的橢圓.

       ∴長半軸，半焦距，

       ∴.

∴點(diǎn)的軌跡方程為.

       （2）設(shè)，，的中點(diǎn).

       由.

       又，∴，.

       ∵中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴

       ∴（－1，0）∪（0，1）.

   （3）將代入橢圓中，整理得

       .

       設(shè)（，），（，）.

       則+=，=.

       ∴===   

       ∴

       =

       =

      

       .

       當(dāng)僅當(dāng)，即（0，1）時(shí)等號(hào)成立.

       此時(shí)，直線（+1）.