Question

4．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$過點(diǎn)$（{2，\sqrt{3}}）$，離心率為$\sqrt{2}$．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F₁PF₂=90°，求點(diǎn)P到x軸的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{3}{^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，c²=a²+b²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨假設(shè)m≥n．可得m-n=2，m²+n²=$（2\sqrt{2}）^{2}$，利用三角形面積公式可得：點(diǎn)P到x軸的距離=$\frac{mn}{2c}$．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{3}{^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，c²=a²+b²，
聯(lián)立解得：a=b=1，c=$\sqrt{2}$．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=1，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（±\sqrt{2}，0）$．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨假設(shè)m≥n．
則m-n=2，m²+n²=$（2\sqrt{2}）^{2}$，
∴mn=2，
∴點(diǎn)P到x軸的距離=$\frac{mn}{2c}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．