Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點，F(xiàn)是C₁C上一點，且CF=2a．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）求C點到平面AFD的距離；
（3）試在棱AA₁上找一點E，使得BE∥平面ADF．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明B₁F⊥平面ADF，只需證明B₁F⊥AF，AD⊥B₁F；
（2）利用等體積，可求C點到平面AFD的距離；
（3）當AE=2a時，BE∥平面ADF，再進行證明即可．

解答： （1）證明：∵AB=AC，D為BC中點∴AD⊥BC
又在直三棱柱中，BB₁⊥底面ABC，
AD?底面ABC，
∴AD⊥BB₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁，…2′
∵B₁F?平面BCC₁B₁
∴AD⊥B₁F，在矩形BCC₁B₁中，C₁F=CD=a，CF=C₁B₁=2a，
∴Rt△DCFRt≌△FC₁B₁，…5′
∴∠CFD=∠C₁B₁F，∴∠B₁FD=90°，即B₁F⊥FD
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面AFD…6′
（2）解：AD=2

2

a，  且AD⊥平面BB1C1C
∴AD⊥DF，DF=

5

a
∴S△ADF=

10

a2，S△ACD=

2

a2
∵V_c-AFD=V_F-ACD…15′
∴h=

2 5

5

a…9′
（3）解：當AE=2a時，BE∥平面ADF．
證明：連EF，EC，設(shè)EC∩AF=M，
連DM，∵AE=CF=2a，
∴AEFC為矩形，
∴M為EC中點，∵D為BC中點，…13′
∴MD∥BE，∵MD?平面ADF，
BE?平面ADF，∴BE∥平面ADF．…16′

點評：本題考查線面平行、線面垂直，考查點面距離，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．