Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸交于A點，若F₁（-1，0），且

AF1

=2

AF2

．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F₁、F₂作互相垂直的兩直線分別與橢圓交于P、Q、M、N四點，若直線MN的傾斜角為

π

4

，求四邊形PMQN的面積．

Answer 1

分析：（I）由題意，|

F1F2

| =2c=2，c=1，故A（a²，0），由

AF1

=2

AF2

，知F₂為AF₁的中點，由此能求出橢圓方程．
（II）由直線MN的傾斜角為

π

4

，知直線MN的斜率k=1，故直線MN的方程為y=x-1，把y=x-1代入橢圓方程2x²+3y²=6，得5x²-6x-3=0，由此能求出四邊形PMQN的面積．

解答：解：（I）由題意，|

F1F2

| =2c=2，c=1，∴A（a²，0），
∵

AF1

=2

AF2

，∴F₂為AF₁的中點，
∴a²=3，b²=2，
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（II）由于直線MN的傾斜角為

π

4

，∴直線MN的斜率k=1，
直線MN的方程為y=x-1，
把y=x-1代入橢圓方程2x²+3y²=6，得5x²-6x-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

6

5

，x1x2=-

3

5

，
所以|MN|=

1+k2

|x1 -x2|=

2

•

(x1+x2 ) 2-4x1x2

=

8 3

5

．
同理|PQ|=

8 3

5

，
∴四邊形PMQN的面積S=

1

2

|MN|•|PQ|=

96

25

．

點評：本題考查橢圓方程的求法和求四邊形的面積，具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．