【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)證明:①當時,;
②當時,.
(2)是否存在最大的整數(shù),使得函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)①直接作差,構建新函數(shù)研究最值即可;②同樣作差構建函數(shù),研究最值即可;
(2)由題意可得,變量分離研究最值即可.
①令,
當時,,故在區(qū)間上為減函數(shù),
當時,,故在區(qū)間上為增函數(shù),
因此,故.
②令,
,因此為增函數(shù)
當時,,故.
(2)據(jù)題意,函數(shù)的定義域為,又,
,
因此對一切有.
令,
則,,
故為增函數(shù),
又,,
因此在區(qū)間上有唯一的零點,記它為,
在上單調遞減,在上單調遞增,
故,因此,其中
由(1)可知恒成立,且當時,成立
故
當且僅當時等號成立.
因此.
又
因此,即存在最大的整數(shù)28,使得在其定義域上是增函數(shù).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某汽車品牌為了了解客戶對于其旗下的五種型號汽車的滿意情況,隨機抽取了一些客戶進行回訪,調查結果如下表:
汽車型號 | I | II | III | IV | V |
回訪客戶(人數(shù)) | 250 | 100 | 200 | 700 | 350 |
滿意率 | 0.5 | 0.3 | 0.6 | 0.3 | 0.2 |
滿意率是指:某種型號汽車的回訪客戶中,滿意人數(shù)與總人數(shù)的比值.
(Ⅰ) 從III型號汽車的回訪客戶中隨機選取1人,則這個客戶不滿意的概率為________;
(Ⅱ) 從所有的客戶中隨機選取1個人,估計這個客戶滿意的概率;
(Ⅲ) 汽車公司擬改變投資策略,這將導致不同型號汽車的滿意率發(fā)生變化.假設表格中只有兩種型號汽車的滿意率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪種型號汽車的滿意率增加0.1,哪種型號汽車的滿意率減少0.1,使得獲得滿意的客戶人數(shù)與樣本中的客戶總人數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結論)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】天干地支,簡稱為干支,源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復,60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對某種書籍每冊的成本費(元)與印刷冊數(shù)(千冊)的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
4.83 | 4.22 | 0.3775 | 60.17 | 0.60 | -39.38 | 4.8 |
其中,.
為了預測印刷千冊時每冊的成本費,建立了兩個回歸模型:,.
(1)根據(jù)散點圖,你認為選擇哪個模型預測更可靠?(只選出模型即可)
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)和(1)中的模型選擇,求關于的回歸方程,并預測印刷千冊時每冊的成本費.
附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】盒子里裝有4張卡片,上面分別寫著數(shù)字1,1,2,2,每張卡片被取到的概率相等.先從盒子中任取1張卡片,記下上面的數(shù)字,然后放回盒子內攪勻,再從盒子中隨機任取1張卡片,記下它上面的數(shù)字.
(1)求的概率;
(2)設“函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個零點”為事件,求的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面一道題目的證明,指出其中的一處錯誤。題目:平面上有六個點,任何三點都是三邊互不相等三角形的頂點,則這些三角形中有一個的最短邊又是另一個三角形的最長邊。證明:第一步,對已知的六個點作兩兩連線,可以得出15條邊,記為,,…,.第二步,由于任何三點組成的都是“三邊互不相等的三角形”,因此,15條邊互不相等不妨設.第三步,由于“任何三點都是三邊互不相等三角形的頂點”,因此,任取三條邊都可以組成三角形,則、、組成的三角形的最長邊,也是、、組成的三角形的最短邊,命題得證.這三步中,第______步有錯誤,理由是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點,且與拋物線交于兩點.
(1)求拋物線的焦點的坐標及準線的方程;
(2)若為銳角,作線段的垂直平分線交軸于點.證明為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,AB=AC,平面BB1C1C⊥底面ABCD,點M、F分別是線段AA1、BC的中點.
(1)求證:AF⊥DD1;
(2)求證:AF∥平面MBC1.
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