Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AD，△BCD是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，AC與BD交于點O，點M是PB的中點．
（1）求證：OM∥平面PAD；
（2）求三棱錐M-PCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由△ABC≌△ADC得AC為∠BCD的角平分線，故O為BD中點，由中位線定理可得OM∥PD，故OM∥平面PAD；
（2）由三角形知識可求出OC，OD，AD，PA，則V_M-PCD=V_O-PCD=V_P-OCD=$\frac{1}{3}{S}_{△OCD}•PA$．

解答 解：（1）∵△BCD是正三角形，∴BC=CD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BCO=∠DCO，
∴O是BD的中點，又M是PB的中點，
∴OM∥PD，又OM?平面PAD，PD?平面PAD，
∴OM∥平面PAD．
（2）∵△BCD是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，
∴∠CBD=∠CDB=60°，BD=$\sqrt{3}$，OC=$\frac{3}{2}$．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠OBA=∠ODA=30°，∴∠BAD=120°，
∴PA=AD=1．
∵OM∥PD，∴OM∥平面PCD，
∴V_M-PCD=V_O-PCD=V_P-OCD=$\frac{1}{3}{S}_{△OCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．