Question

7．已知函數(shù)f（x）=2sinx•sin（$\frac{π}{3}$-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）如果0≤x≤$\frac{π}{2}$，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的對稱軸方程．
（2）由0≤x≤$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinx•sin（$\frac{π}{3}$-x）=2sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$∈[-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的對稱性，化簡函數(shù)f（x）的解析式是解題的關鍵，屬于中檔題．