已知集合A={a1,a2,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的個(gè)數(shù).
(Ⅰ)若集合A={2,4,8,16},則l(A)=
 
;
(Ⅱ)當(dāng)n=108時(shí),l(A)的最小值為
 
分析:(Ⅰ)根據(jù)定義結(jié)合題中所給的集合即可確定l(Q);
(Ⅱ)根據(jù)集合A的元素特點(diǎn),求出求l(A)的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,
得l(Q)=6.
(Ⅱ)不妨設(shè)a1<a2<a3<…<an,可得
a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<a3+an<…<an-1+an,
故ai+aj(1≤i<j≤n)中至少有2n-3個(gè)不同的數(shù),即l(A)≥2n-3.
事實(shí)上,設(shè)a1,a2,a3,…,an成等差數(shù)列,考慮ai+aj(1≤i<j≤n),
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),當(dāng)i+j≤n時(shí),ai+aj=a1+ai+j-1;當(dāng)i+j>n時(shí),ai+aj=ai+j-n+an;
因此每個(gè)和ai+aj(1≤i<j≤n)等于a1+ak(2≤k≤n)中的一個(gè),或者等于al+an(2≤l≤n-1)中的一個(gè).
故對(duì)這樣的集合A,l(A)=2n-3,所以l(A)的最小值為2n-3.
當(dāng)n=108時(shí),l(A)的最小值為213.
故答案為:(Ⅰ)6.(Ⅱ)213.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查集合與元素的關(guān)系,以及組合的有關(guān)知識(shí),認(rèn)真審題,正確的理解題意并且仔細(xì)解答是解題的關(guān)鍵點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A=a1,a2,…,an中的元素都是正整數(shù),且a1<a2<…<an,對(duì)任意的x,y∈A,且x≠y,有|x-y|≥
xy
25

(Ⅰ)求證:
1
a1
-
1
an
n-1
25
;    
(Ⅱ)求證:n≤9;
(Ⅲ)對(duì)于n=9,試給出一個(gè)滿足條件的集合A.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A=a1,a2,a3,…,an,其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的個(gè)數(shù).
(Ⅰ)設(shè)集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分別求l(P)和l(Q);
(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n,求證:l(A)=
n(n-1)2
;
(Ⅲ)l(A)是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整數(shù),且a1<a2<…<an,對(duì)任意的x,y∈A,且x≠y,都有|x-y| ≥
xy
36

(1)求證:
1
a1
-
1
an
n-1
36
;(提示:可先求證
1
ai
-
1
ai+1
1
36
(i=1,2,…,n-1),然后再完成所要證的結(jié)論.)
(2)求證:n≤11;
(3)對(duì)于n=11,試給出一個(gè)滿足條件的集合A.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的個(gè)數(shù).
(1)設(shè)集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分別求l(P)和l(Q)的值;
(2)若集合A={2,4,8,…,2n},求l(A)的值.

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