已知圓C的圓心在y軸上,半徑為1,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2).
(1)求圓的方程;
(2)直線l過(guò)點(diǎn)P且在圓上截得的弦長(zhǎng)為
3
,求l的方程.
分析:(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為(0,b),則由題意可得  1=
1+(b-2)2
,解出 b 即得圓心坐標(biāo),根據(jù)半徑
求得圓的方程.
(2)當(dāng)l的斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件.當(dāng)l的斜率存在時(shí),用點(diǎn)斜式設(shè) l的方程,由弦長(zhǎng)公式求得
圓心到直線l 的距離,此距離就是圓心到直線的距離,求出 k 值,即得所求的直線方程.
解答:解:(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為(0,b),則由題意可得  1=
1+(b-2)2
,∴b=2,
故圓心為(0,2),故所求的圓的方程為 x2+(y-2)2=1.
(2)當(dāng)l的斜率不存在時(shí),l的方程為 x=1,此時(shí),直線l和圓相切,不滿足條件.
當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則l的方程為 y-2=k(x-1),即 kx-y+2-k=0.
設(shè)圓心(0,2)到直線l 的距離為d,則由弦長(zhǎng)公式可得 
3
=2
1-d2
,∴d=
1
2

由點(diǎn)到直線的距離公式可得 
1
2
=
|0-2+2-k|
k2+1
,∴k2=
1
3
,∴k=
3
3
,或 k=-
3
3

故l的方程為
3
3
x-y+2-
3
3
=0,或-
3
3
x-y+2+
3
3
=0.
綜上,l的方程為
3
x-3y+6-
3
=0,或
3
x+3y-6-
3
=0.
點(diǎn)評(píng):本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)到直線的距離公式,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,求出圓心到
直線l 的距離d是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
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