Question

已知函數f（x）=x

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，x∈[-1，8]，函數g（x）=ax+2，x∈[-1，8]．若對任意x₁∈[-1，8]，總存在x₂∈[-1，8]，使f（x₁）=g（x₂）成立．則實數a的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：存在性問題：“若對任意x₁∈[-1，8]，總存在x₂∈[-1，8]，使f（x₁）=g（x₂）成立”，只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）的值域的子集即可．

解答：解：若對任意的x₁∈[-1，8]，總存在x₂∈[-1，8]，
使f（x₁）=g（x₂）成立，只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）的值域的子集．
f（x）=x

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，x∈[-1，8]的值域為[0，4]，下求g（x）=ax+2的值域．
①當a=0時，g（x）=2為常數，不符合題意舍去；
②當a＞0時，g（x）的值域為[2-a，2+8a]，要使[0，4]⊆[2-a，2+8a]，
得2-a≤0且4≤2+8a，解得a≥2；
③當a＜0時，g（x）的值域為[2+8a，2-a]，要使[0，4]⊆[2+8a，2-a]，
得2+8a≤0且4≤2-a，解得a≤-2；
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）
故答案為：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：本題主要考查函數恒成立問題以及函數單調性的應用，屬于對基本知識的考查，是基礎題