Question

11．近日，某公司對其生產(chǎn)的一款產(chǎn)品進行促銷活動，經(jīng)測算該產(chǎn)品的銷售量P（單位：萬件）與促銷費用x（單位：萬元）滿足函數(shù)關系：p=3-$\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品件數(shù)為P（單位：萬件）時，還需投入成本10+2P（單位：萬元）（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（4+$\frac{30}{p}$）元/件，假定生產(chǎn)量與銷售量相等．
（Ⅰ）將該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）表示為促銷費用x（單位：萬元）的函數(shù)；
（Ⅱ）促銷費用x（單位：萬元）是多少時，該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）取最大值？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)產(chǎn)品的利潤=銷售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關系；
（Ⅱ）利用導數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，y=（4+$\frac{30}{p}$）p-x-（10+2p），
將p=3-$\frac{2}{x+1}$代入化簡得：y=26-$\frac{4}{x+1}$-x（0≤x≤a）；
（Ⅱ）y′=-$\frac{（x+3）（x-1）}{（x+1）^{2}}$，
當a≥1時，x∈（0，1）時y'＞0，所以函數(shù)26-$\frac{4}{x+1}$-x在（0，1）上單調(diào)遞增，
當x∈（1，a）時y'＜0，所以函數(shù)26-$\frac{4}{x+1}$-x在（1，a）上單調(diào)遞減，
從而促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；
當a＜1時，因為函數(shù)26-$\frac{4}{x+1}$-x在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以在[0，a]上單調(diào)遞增，故當x=a時，函數(shù)有最大值．
即促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．
綜上，當a≥1時，促銷費用投入1萬元，廠家的利潤最大，為23 萬元；
當a＜1時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大，為26-$\frac{4}{a+1}$-a 萬元．

點評 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．