分析 (1)本題證明結論中結構較復雜,而其否定結構簡單,故可用反證法證明其否定不成立,即證明1+ba,1+a不可能都不小于2,假設1+ba,1+a都不小于2,則1+ba≥2,1+a≥2得出2≥a+b,這與已知a+b>2相矛盾,故假設不成立,以此來證明結論成立.
(2)利用作差法,即可證明;
(3)利用分析法證明即可.
解答 證明:(1)假設1+ba,1+a都不小于2,則1+ba≥2,\frac{1+a}≥2
因為a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b,1+1+a+b≥2(a+b)
即2≥a+b,這與已知a+b>2相矛盾,故假設不成立.
綜上,1+ba,1+a中至少有一個小于2;
(2)∵a-b=2,∴b=a-2,
∵b>0,∴a>2,
∴a3+b-8=a3-8+a-2=(a-2)(a2+2a+5)>0,
∴a3+b>8;
(3)要證明:a(3a-2b)≥4√2+6,
就是證明:3a2-2ab≥4√2+6.
∵a2-b2=2,
就是證明:3b2-4√2≥2ab.
就是證明:(3b2-4√2)2≥4a2b2.
就是證明:5b4-(24√2+8)b2+32≥0.
設b2=t,則△=(24√2+8)2-640>0,∴不等式成立,
∴a(3a-2b)≥4√2+6.
點評 反證法是一種簡明實用的數(shù)學證題方法,也是一種重要的數(shù)學思想.相對于直接證明來講,反證法是一種間接證法.它是數(shù)學學習中一種很重要的證題方法.其實質是運用“正難則反”的策略,從否定結論出發(fā),通過邏輯推理,導出矛盾.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
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