Question

8．已知A（0，1），B（0，-1）是橢圓$\frac{x^2}{2}$+y²=1的兩個頂點，過其右焦點F的直線l與橢圓交于C，D兩點，與y軸交于P點（異于A，B兩點），直線AC與直線BD交于Q點．
（Ⅰ）當|CD|=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$時，求直線l的方程；
（Ⅱ）求證：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可設直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用弦長公式求出直線l的斜率，則直線方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的條件寫出AC、BD的方程，聯(lián)立求出Q的坐標，結合（Ⅰ）中的根與系數(shù)的關系化簡Q，然后由數(shù)量積的坐標運算可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$為定值．

解答 解：（Ⅰ）由題設條件可知，直線l的斜率一定存在，F(xiàn)（1，0），
設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0且k≠±1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$．
由已知，得$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），
即x-$\sqrt{2}$y-1=0或x+$\sqrt{2}$y-1=0；
（Ⅱ）由C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（0，1），B（0，-1），得
直線AC的方程為y=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$x+1，直線BD的方程為y=$\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}-1$x-1，
聯(lián)立兩條直線方程并消去x，得$\frac{y-1}{y+1}$=$\frac{{x}_{2}（{y}_{1}-1）}{{x}_{1}（{y}_{2}-1）}$，
∴y_Q=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}+{x}_{2}}$．
由（Ⅰ），知y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴x₁y₂+x₂y₁+x₁-x₂=kx₁（x₂-1）+kx₂（x₁-1）+x₁-x₂
=2kx₁x₂-k（x₁+x₂）+x₁-x₂=2k•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-k•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+x₁-x₂
=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$+x₁-x₂，
x₁y₂-x₂y₁+x₁+x₂=kx₁（x₂-1）-kx₂（x₁-1）+x₁+x₂
=k（x₂-x₁）+x₁+x₂=k（x₂-x₁）+$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$
=-k（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$+x₁-x₂），
∴y_Q=-$\frac{1}{k}$，則Q（x_Q，-$\frac{1}{k}$）．
又P（0，-k），∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（0，-k）•（x_Q，-$\frac{1}{k}$）=1．
故$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$為定值．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應用，考查計算能力，是壓軸題．